L’idea di questo fumetto risale all’estate torrida del 2002, quando il calore del solleone surriscalda anche il cervello. In quella estate ho provato a studiare la forma delle curve del terzo e quarto ordine, esprimibili con equazioni rispettivamente del terzo e quarto grado in x,y sul piano cartesiano. Le equazioni di secondo grado forniscono le curve coniche, studiate a livello intuitivo già dall’antico greco Apollonio. Le coniche sono tutte ottenibili dalla trasformazione proiettiva di una unica curva semplice, la circonferenza. Così non è per le curve algebriche di ordine superiore, che non derivano dalla proiezione di una unica curva. Tuttavia tali curve algebriche possono essere suddivise in gruppi, in quanto pure loro si possono ottenere da un numero limitato di curve, applicando la trasformazione proiettiva mediante una omologia. A seconda di come è disposto l’asse limite rispetto la curva originaria, si otterranno nuove tipologie, come accade appunto per la circonferenza. Se le curve possono essere trasformate una nell’altra tramite l’omologia, allora apparterranno alla stessa famiglia. Un’altra possibile suddivisione, che è quella proposta dalla prima parte del fumetto, si riferisce al concetto di conica degenere: infatti le curve coniche possono degenerare in tre tipi di coniche degeneri: punto, retta, coppia di rette secanti che corrispondono a ellisse, parabola, iperbole. In maniera analoga si può studiare come degenerano le curve del terzo e quarto ordine.
Inoltre ho provato a dedurre una equazione per la sella di scimmia, di cui parlava nel corso di geometria il professor Bruno D’Amore, assieme a tante altre cose veramente curiose e stimolanti. La sella di scimmia deve presentare un avvallamento per la coda, quindi la sua sezione orizzontale deve essere costituita da tre archi. Occorre pertanto una curva analoga alla iperbole, ma con tre rami invece di due. Tale tipo di curva può essere costruita con una equazione del terzo grado.
La deduzione finale è che le curve del terzo ordine presentano sempre tre flessi, oppure un flesso più una cuspide o un flesso più un occhiello. Sul piano euclideo non possono chiudersi. Un occhiello e una cuspide equivalgono a due flessi. Le curve del terzo ordine si chiudono sempre all’infinito: flessi e cuspidi e nodo dell’occhiello possono essere pure all’infinito. Ricordiamo che anche la retta si chiude all’infinito e che il suo punto all’infinito può essere inteso come un flesso.
Non è possibile chiudere una curva finita con un numero di flessi dispari. Le curve con un numero di flessi dispari si possono chiudere solo all’infinito perché il piano proiettivo ha una sola faccia, essendo ritorto su se stesso come il nastro di Moebius.
Le curve del quarto ordine possono presentare nessuno (ovoide), due (fagiolo) o quattro flessi (pavesino), quindi possono essere chiuse e finite. Poiché una cuspide o un occhiello valgono due flessi, le curve del quarto ordine possono pure avere due flessi e una cuspide (goccia), due flessi e un occhiello (otto o lemniscata). Possono avere anche una o due cuspidi (mela), uno o due occhielli (disposti all’interno) oppure occhiello e cuspide (rivolti all’interno). Le curve del secondo ordine (coniche) non presentano alcun flesso, né finito, né all’infinito.
Il fumetto è rimasto a livello di schizzi, se qualcuno lo volesse impaginare per renderlo pubblicabile, sono a sua disposizione. Io ho troppe cose per la testa, non posso seguirle tutte.
oggettigeometricigdl 